Cálculo 1, Febrero — Agosto 2007. Ejercicios 1

1. Si A y B son subconjuntos de ℝ que están acotados superiormente, demuestre que A ∪ B y A ∩ B están acotados superiormente.

2. Si A, B ⊆ ℝ están acotados superiormente y no son vaciós, demuestre que

sup (A ∪ B) = max {sup A, sup B} .

¿Es también cierto que sup (A ∩ B) = min {sup A, sup B}? Demuéstrelo o de un contraejemplo.

3. Demuestre que A ⊆ ℝ está acotado si y sólo si existen a, b ∈ ℝ tales que A ⊆ [a, b].

4. Si A y B están acotados ¿qué se puede decir de A \ B?

5. “A es acotado superiormente si y sólo si ℝ \ A es acotado inferiormente”, ¿es siempre verdadera?

6. Si A, B ⊆ ℝ y sup A = sup B e inf A = inf B, ¿es cierto que A = B?

7. Demuestre que si A, B ⊆ ℝ son tales que: (i) A ≠ ∅ y B ≠ ∅, (ii) A∪B = ℝ y (iii) (∀x ∈ A) (y ∈ B ⇒ x < y), entonces (a) A ∩ B = ∅ y (b) existe un único ξ ∈ ℝ que satisface que

(∀x ∈ ℝ) ((x < ξ ⇒ x ∈ A) & (x > ξ ⇒ x ∈ B)) .