Cálculo 1, Febrero — Agosto 2007. Ejercicios 2

1. Investigue si los siguientes conjuntos son o no inductivos:

(a) A = {−5} ∪ {x ∈ ℝ : x ≥ 0} ,

(b) B = \{n ∈ ℕ : 1 + +2 + 3 + ⋯ + n = \frac{n(n+1)}{2} + 5\}

(c) C = \{x ∈ ℝ : \frac{1}{x} > 0\} ,

(d) D = {x ∈ ℝ : −2x − 28 < x^{2} + 8x} .

2. Demuestre que si A y B son subconjuntos inductivos de números reales, entonces A ∩ B es un conjunto inductivo.

3. Demuestre que:

(a) (∀n ∈ ℕ) (n ≥ 2 ⇒ (∃r ∈ ℕ) (1 + r = n))
(b) (∀n ∈ ℕ) (n ≥ 2 ⇒ n − 1 ∈ ℕ)
(c) (∀n ∈ ℕ) (m ∈ ℕ & n < m ⇒ m − n ∈ ℕ)

4. Demuestre que todo subconjunto de ℕ no vacío y acotado superiormente tiene un elemento máximo.

5. Demuestre que si a ∈ ℚ y b ∈ ℝ \ ℚ, entonces \{a + b, −b, \frac{1}{b}\} ∩ ℚ = ∅.

6. Demuestre que si x, y ∈ ℝ y x < y, entonces existe r ∈ ℝ \ ℚ tal que x < r < y.

7. Muestre que \sqrt{2} ∉ ℚ.

8. Determinar el dominio máximo de cada una de las siguientes funciones: (a) f (x) = 3x + 5,

(b) f (x) = \frac{1}{x−4},

(c) f (x) = \frac{1}{(x−8)(x+5)},

(d) f (x) = \frac{1}{\sqrt{2x^{2}−3x−5}}

(e) f (x) = \frac{|x|}{x}

9. ¿Son iguales las funciones f, g : ℝ\ {1} → ℝ dadas por

f (x) = \frac{x^{2} − 1}{x − 1} y g (x) = x + 1?

10. Sea f : ℕ → ℕ dada por

f (n) = \{ \begin{matrix}2n − 1, & si n es impar \\ n, & si n es par. \end{matrix}

¿Es f una función inyectiva? ¿Por qué?

11. Si g ∘ f es una función inyectiva, ¿qué se puede decir de la inyectividad de f y de g?

12. Definamos f : ℝ → (0, 1] por f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2}+1}. ¿Es f sobreyectiva?

13. Si g ∘ f es una función sobreyectiva, ¿qué se puede decir de la sobreyectividad de f y de g?