EJERCICIOS II TEORÍA DE CONJUNTOS.

(1) Sean A ≠ ∅ y n ∈ ω. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) Existe f : n → A que es sobreyectiva.

(b) Existe g : A → n que es inyectiva.

(c) A es finito con a lo más n elementos.

(2) Demuestre que si X y Y son conjuntos finitos, entonces X × Y es un conjunto finito y |X × Y | = |X| · |Y |.

(3) Demuestre que si X y Y son conjuntos finitos, entonces X ∪ Y es un conjunto finito. Más aún, si además X ∩ Y = ∅, entonces |X ∩ Y | = |X| + |Y |.

(4) Demuestre que si |X| = n, entonces |P (X)| = 2^{n}.

(5) Para cada n ∈ ω, sea [X]^{n} = {S ⊆ X : |S| = n}. Demuestre que [ω]^{n} es numerable. (Sugerencia: [ω]^{n} es imagen de un conjunto numerable.)

(6) Recordemos que una sucesión ⟨s_{n}⟩_{n∈ω} de números naturales es semiconstante si existe n_{0} ∈ ω tal que s_{n} = s_{n_{0}} para todo n ≥ n_{0}. Sea S el conjunto de todas las sucesiones semiconstantes de números naturales. Demuestre que S es numerable. (Sugerencia: para s ∈ S sea f (s) = ∏_{i<n_{0}} p_{i}^{s_{i}}, donde p_{i} es el i-ésimo número primo. La función f es inyectiva.)

(7) Demuestre que el conjunto de todas las sucesiones finitas de números naturales es numerable.

(8) Demuestre que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales es numerable.

Date: Septiembre 9, 2005.