EJERCICIOS III TEORÍA DE CONJUNTOS.

Recordemos que si f : A → B es una función, entonces f ⊆ A × B y f^{−1} = {⟨y, x⟩ : ⟨x, y⟩ ∈ f} es en general solamente un subconjunto de B ×A. En clase vimos que en caso de que f sea una función inyectiva entonces f^{−1} es una función aunque su dominio puede no ser igual a B. También recordemos que la función identidad en A es la función Id_{A} = {⟨x, x⟩ : x ∈ A}.

Definición 1. Sea f : A → B una función.

(1) Una función g : B → A se llama inversa izquierda de f si se tiene que g ∘ f = Id_{A}.

(2) Una función h : B → A se llama inversa derecha de f si se tiene que f ∘ h = Id_{B}.

Demuestre lo siguiente:

(1) Si f : A → B es una función inyectiva, entonces f tiene una inversa izquierda; es decir, existe una función g : B → A que es inversa izquierda de f.

(2) Los siguientes enunciados son equivalentes:

(a) El Axioma de Elección.

(b) Si A es una familia no vacía de conjuntos no vacíos y ajenos dos a dos, entonces existe un conjunto B tal que para todo A ∈ A, A ∩ B es un conjunto con un único elemento.

(c) Toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha.

(d) Si Γ ≠ ∅ y {A_{γ} : γ ∈ Γ} es una familia de conjuntos tales que A_{γ} ≠ ∅ para todo γ ∈ Γ y si α, β ∈ Γ son distintos elementos entonces A_{α} ∩ A_{β} = ∅, entonces existe B ⊆ _{⋃γ∈Γ}A_{γ} tal que |B ∩ A_{γ}| = 1 para todo γ ∈ Γ.

(e) Si Γ ≠ ∅ y {A_{γ} : γ ∈ Γ} es una familia indizada de conjuntos no vacíos, entonces ∏_{γ∈Γ} A_{γ} ≠ ∅.

(f) Si F : X → ℘ (Y) \ {∅} es una función, entonces existe una

función f : X → Y tal que f (x) ∈ F (x) para todo x ∈ X.

(3) Si Γ ≠ ∅ y {A_{γ} : γ ∈ Γ} es una familia indizada de conjuntos no vacíos, entonces ∏_{γ∈Γ} A_{γ} ⊆ ℘ (℘ (℘ (Γ ∪_{⋃γ∈Γ}A_{γ}))) .

(4) El Axioma de Elección implica que |⋃A| ≤ ∑_{A∈A} |A|.

(5) Si para cada γ ∈ Γ se tiene que f_{γ} : A_{γ} → B es una función, entonces f = _{⋃γ∈Γ}f_{γ} es una función si y sólo si para cualesquiera γ, γ′ ∈ Γ se tiene que f_{γ} ↾ A_{γ} ∩ A_{γ′} = f_{γ′} ↾ A_{γ} ∩ A_{γ′}. ¿Cuál es el dominio de f en caso de ser función?

Date: Septiembre 21, 2005.