1. Demostrar que el Axioma de Elección (A.C) es equivalente al siguiente enunciado: Si (X, R) es un conjunto parcialmente ordenado, entonces existe un subconjunto M ⊆ X ⊆-maximal el cual es linealmente ordenado por R.

Demostración: Hipotesis: (A.C), en la versión Lema de Zorn. Sea C una cadena que consiste de subconjuntos de X linealmente ordenados. Claramente ⋃ C ⊆ X es una cota superior para C. Por lo tanto, aplicando el lema de Zorn, tenemos que existe un subconjunto ⊆-maximal M ⊆ X con las propiedades deseadas.

Para la otra implicación vamos a demostrar el lema de Zorn, es decir si (X, R) es un conjunto parcialmente ordenado en el cual toda cadena tiene una cota superior, entonces X posee un elemento maximal. Para ello consideremos la familia Y de todos los subconjuntos de X que son bién ordenados y

S = {(u, v) ∈ Y^{2} : u es un segmento R-inicial de v}.

Observemos que S es un orden parcial sobre Y. Por hipotesis Y posee un conjunto ⊆-maximal M el cual es linealmente ordenado por S. Entonces ⋃ M es una cadena en X y por consiguiente tiene una cota superior, digamos c. Afirmamos que c es un elemento maximal en (X, R). Pues supongamos que c no es maximal, entonces existe un z ∈ X, tal que, c < z, pero entonces, z es una cota superior para ⋃ M, y por lo tanto, M ∪(⋃ M ∪{z}) es ordenado lienalmente por S, lo cual contradice la maximalidad de M. ■

2. Si α es el minimo ordinal α tal que α = ω_{α}, entonces ω_{α} no es un cardinal debilmente inaccesible.

Demostración: Recordemos que un cardinal es debilmente inaccesible si este es limite y regular a la vez. Por lo tanto, supongamos que α es regular, es decir, supongamos que cf(α) = α. Consideremos una sucesión de ordinales menores que α de la siguiente manera: β_{0} < ω_{β_{1}} < β_{2} < ω_{β_{3}} < ⋯, entonces lim_{n→ω}β_{2n} = sup(β_{2n}) = sup(ω_{β2n−1}) = ω_{β_{ω}} = β_{ω}. Como esta suseción es de longitud ω, y α es regular, se tiene que ω_{β_{ω}} = β_{ω} < α. ■