Alejandro Torres Ayala.

II.2. Demostrar que si S es un conjunto estacionario en ω_{1} y α un ordinal numerable, entonces S contiene un subconjunto cerrado C con tipo de orden α. Demostración: Nuestra prueba es por inducción. Obsérvese que es fácil encontrar subconjuntos cerrados C_{β} en S con otp(C_{β}) = β para todo β finito. Por lo tanto, consideremos la siguiente hipotesis inductiva: Para todo γ ∈ ω_{1}y para todo β < α < ω_{1}, existe un subconjunto cerrado C_{β} ⊆ S con tipo de orden β y tal que, γ < min(C_{β}). Supongamos que α es límite y encontremos un subconjunto cerrado C de S con tipo de orden α usando la hipótesis inductiva. Como α es límite, tenemos que α = sup{α_{n} : n ∈ ω}. Sean C_{i} ⊆ S cerrados tal que otp(C_{i}) = α_{i} +1, para cada i ∈ ω. Esto implica que para toda i ∈ ω existen isomorfismos f_{i} : C_{i} → α_{i} + 1. Por lo tanto, consideremos D_{0} = C_{0} y D_{i+1} = C_{i+1} − {ξ ∈ C_{i+1} : f_{i+1}(ξ) ∈ (α_{i}) + 1} para cada i ∈ ω. Entonces, hacemos C = ⋃_{i∈ω} D_{i}. Entonces tenemos que otp(C) = α, y además C es cerrado pues en la constrcucción se le agregaron todos sus puntos límite.

El siguiente paso es encontrar un subconjunto cerrado de S con tipo de orden α + 1, para α límite. Ahora en nuestra hipótesis podemos usar además que existen subconjuntos cerrados de S con tipo de orden α. Consideremos el siguiente subconjunto A = {β_{γ} : γ ∈ ω_{1}}, donde β_{γ} se define como sigue: Para γ ∈ ω_{1}, sea B_{γ} ⊆ S cerrado con otp(B_{γ}) = α, en estas condiciones definimos β_{γ} = sup(⋃_{ξ<γ} B_{ξ}) < min(B_{γ}). Observemos que por construcción A es un cerrado y por la hipóteis es no acotado en ω_{1}, por lo tanto, A∩S ≠ ∅. Sea β ∈ A ∩ S el cual lo podemos suponer límite (pues el conjunto de los puntos límite de A es también un c.u.b.), esto implica que β = sup{β_{n} : n ∈ ω}. Entonces ahora procedemos igual que en el caso anterior solo que ahora podemos agregar β, pues este punto pertenece a S, es decir, hacemos C = ⋃_{i∈ω} D_{i} ∪ {β}, donde los D_{i} se definen de igual manera que en el caso anterior.

Para ordinales α + k con k > 1 es fácil proceder usando la hipótesis inductiva.