Alejandro Torres Ayala.

III.6. Sean κ > ω un caridinal regular y E un subconjunto estacionario en κ. ♢^{+}(κ, E) es la siguiente afirmación: Existen familias A_{α} ⊂ P(α), para α ∈ E tales que | A_{α} |≤| α | y para cada A ⊆ κ, existe un c.u.b. C ⊂ κ, tal que

(a) ∀α ∈ C ∩ E(A ∩ α ∈ A_{α}) y

(a) ∀α ∈ C ∩ E(C ∩ α ∈ A_{α}).

Según esta definición tenemos que ♢_{κ}^{+} = ♢^{+}(κ, κ), es decir, hacemos E = κ. Así mismo, ♢(κ, E) dice que existen subconjuntos A_{α} ⊆ α, para α ∈ E, tales que

(∀A ⊆ κ)({α ∈ E : A ∩ α = A_{α}} es estacionario).

Demostrar que:

♢_{κ}^{+} ⇒ ♢^{+}(κ, E),

mientras que

♢(κ, E) ⇒ ♢_{κ}.

Demostración: Como estamos suponiendo ♢_{κ}^{+}, entonces existen familias A_{α} ⊂ P(α) para α ∈ κ y un c.u.b. C ⊂ κ que satisfacen (a) y (b) de la definición para todo α ∈ κ y en particular para todo α ∈ E, pues E ⊆ κ. Por lo tanto, tenemos que ♢_{κ}^{+} ⇒ ♢^{+}(κ, E).

Ahora supongamos ♢(κ, E) y probemos ♢_{κ}. Sea {A_{α} : α ∈ E} la sucesión ♢(κ, E) y definamos nuestra sucesión ♢_{κ} como {B_{α} : α ∈ κ}, donde B_{α} = A_{α} si α ∈ E y B_{α} = ∅ si α ∈ (κ − E). Por lo tanto, si B es un subconjunto de κ, entonces el conjunto {α ∈ κ : B ∩ α = B_{α}} es estacionario, que es lo que se quería probar.