Alejandro Torres Ayala.

IV.1. Si f, g ∈ ω^{ω}, defina f ≤^{∗} g si y sólo si existe n ∈ ω tal que para m > n se tiene que f(m) ≤ g(m). Sea F ⊆ ω^{ω} con | F |≤ κ Suponiendo MA(κ), demuestre que existe g ∈ ω^{ω} tal que f ≤^{∗} g, para todo f ∈ F.

Solución: Consederemos el siguiente conjunto ℙ de pares ordenados ⟨p, F ⟩ tales que p; ω → ω es una función parcial finita y F es un subconjunto finito de F. Definimos ⟨p, F ⟩ ≤ ⟨q, F′⟩ si

i) q ⊆ p;

ii) F′ ⊆ F, y

iii) (∀f ∈ F′)(∀n ∈ dom(p) \ dom(q))(p(n) > f(n)).

Veamos que podemos aplicar Axioma de Martin: Sea A ⊆ ℙ no numerable. Como el conjunto de funciones parciales finitas de ω es numerable, se tiene que alguna p; ω → ω aparece una cantidad no numerable de veces en A, por lo tanto, sean a, b ∈ A, los cuales podemos suponer que se escriben como a = ⟨p, F ⟩ y b = ⟨p, F′⟩. Sea c = ⟨p, F ∪ F′⟩. Claramente tenemos que c ≤ a y c ≤ b. Por lo tanto, ℙ es c.c.c.

Sea D_{f} = {⟨p, F ⟩ ∈ ℙ : f ∈ F }, entonces D_{f} asi definido es denso en ℙ. En efecto sea ⟨q, F′⟩ ∈ ℙ y hagamos G = F′ ∪ {f}, entonces se tiene que ⟨q, G⟩ ≤ ⟨q, F′⟩. Tambien definamos para cada n ∈ ω D_{n} = {⟨p, F ⟩ ∈ ℙ : n ∈ dom(p)}. Afirmamos que D_{n} es denso en ℙ. Pues sea ⟨q, F′⟩ ∈ ℙ. Si n ∈ dom(q) ya terminamos. Por tanto, supongamos que n ∉ dom(q) y hagamos p = q ∪ {⟨n, 1 + max{f(n) : f ∈ F′}⟩}. Ahora sean D = {D_{f} : f ∈ F} ⋃{D_{n} : n ∈ ω} y G un filtro D−gererico. Entonces afirmamos que si ⋃ G = g, entonces g : ω → ω es tal que f ≤^{∗} g, para todo f ∈ F. Para probar esto consideremos a f ∈ F. Como G∩D_{f} ≠ ∅. Sean a = ⟨p, F ⟩ ∈ H ∩ D_{f} y n ∈ ω, con n > max{k : k ∈ dom(p)}. Luego sea b = ⟨q, F′⟩ ∈ H ∩ D_{n}. Como G es filtro, existe c ∈ G con c = ⟨r, H⟩ tal que c ≤ a y c ≤ b. Luego tenemos que g|_{dom(r)} = r. Por lo tanto, f(n) < r(n) = g(n). Por construcción de g tenemos que para m > n f(m) ≤ g(m).