Ejercicios I

February 24, 2005

1. (Érica y Salomón) Demuestre que el Axioma de Elección (AC) es equivalente a: Cualquier función perfecta de un espacio topológico en otro tiene una restricción irreducible a un subespacio cerrado de su dominio.

2. (Alejandro y Alexei) Demuestre que el AC es equivalente a: Si R es un orden parcial sobre X, entonces existe un subconjunto ⊆-maximal de X el cual es linearmente ordenado por R. (Sugerencia: Para una de las implicaciones será útil considerar la familia Y de todos los subconjuntos bien ordenados de X y

S = {⟨u, v⟩ ∈ Y^{2} : u es un segmento R-inicial de v} .)

3. (Pável y Alejandro) Si α es el mínimo ordinal α tal que α = ω_{α}, entonces ℵ_{α} no es un cardinal débilmente inaccesible.

4. (a) (Iván, David y Salomón) Demuestre, sin usar AC, que cualquier espacio métrico con un subespacio denso bien ordenado es paracompacto. En particular, espacios métricos separables, como ℝ, son paracompactos (sin usar AC). (Indicación: Parte de la demostración usual del Teorema de Stone sigue siendo útil.)

(b) Feferman y Lévy demostraron que es consistente con ZF que ℵ_{1} es un cardinal singular. Demuestre asumiendo eso que es consistente que ω_{1} es paracompacto. (Indicación: Si U es una cubierta abierta y α < β < ω_{1} entonces existe una familia finita de subconjuntos abiertos y cerrados de (α, β] que refinan U y cubren ese intervalo.)

5. (Pável e Iván) Sea κ un cardinal infinito y sea ⊴ cualqueir buen orden de κ. Demuestre que hay un X ⊆ κ tal que |X| = κ y ⊴ y ≤ coinciden sobre X.

6. (Alexei y Érica) Demuestre que si κ ≤ α < κ^{+}, entonces existen X_{n} ⊆ α, con n ∈ ω, tales que α = ⋃_{n∈ω} X_{n} y otp (X_{n}) ≤ κ^{n}.