Ejercicios III

April 1, 2005

1. (David) Un cardinal κ se llama de Mahlo si es inaccesible y

{α < κ : α es regular}

es estacionario en κ. Demuestre que para un tal κ,

{λ < κ : λ es inaccesible}

es estacionario en κ.

2. (Iván) Demuestre que los siguientes son equivalentes:

(a) ♢

(b) Existen A_{α} ⊆ α×α para α < ω_{1}, tales que para todo A ⊆ ω_{1}×ω_{1},

{α ∈ ω_{1} : A ∩ (α × α) = A_{α}}

es estacionario.

(c) Existen funciones f_{α} : α → α para α < ω_{1} tales que, para cada f : ω_{1} → ω_{1},

(∃α < ω_{1}) (f ↾ α = f_{α} & α > 0) .

(d) Existen funciones f_{α} : α → α para α < ω_{1} tales que, para cada

f : ω_{1} → ω_{1},

{α ∈ ω_{1} : f ↾ α = f_{α}}

es estacionario.

3. (Pável) Sea κ > ω un cardinal regular. ♢_{κ} es la afirmación de existen conjuntos A_{α} ⊆ α para α < κ tales que

(∀A ⊆ κ) ({α < κ : A ∩ α = A_{α}} es estacionario) .

Demuestre que ♢_{κ} ⇒ 2^{<κ} = κ y que hay una familia de 2^{κ} conjuntos estacionarios que son casi ajenos por pares.

4. (Érica) Demuestre que para κ regular y no numerable, ♢_{κ} es equivalente a la siguiente afirmación: Existen familias A_{α} ⊆ P (α) para α < κ, tales que |A_{α}| ≤ |α| y para cada A ⊆ κ, {α < κ : A ∩ α ∈ A_{α}} es estacionario.

5. (Osvaldo) Demuestre que lo siguiente es inconsistente: Existen A_{α} ⊆ α para α < ω_{1} tales que para todo estacionario A ⊆ ω_{1}, existe α ∈ A tal que A ∩ α = A_{α}.

6. (Alejandro) Sea κ > ω un cardinal regular y sea E ⊆ κ estacionario. ♢^{+} (κ, E) dice que existen A_{α} ⊆ P (α) para α ∈ E tales que |A_{α}| ≤ |α| y para todo A ⊆ κ, existe un c.u.b. C ⊆ κ tal que

(∀α ∈ C ∩ E) (A ∩ α ∈ A_{α} & C ∩ α ∈ A_{α}) .

♢_{κ}^{+} es lo mismo que ♢^{+} (κ, κ). Asimismo, ♢ (κ, E) dice que existen conjuntos A_{α} ⊆ α para α ∈ E tales que

(∀A ⊆ κ) ({α ∈ E : A ∩ α = A_{α}} es estacionario) .

Demuestre que:

♢_{κ}^{+} ⇒ ♢^{+} (κ, E) ,

mientras que

♢ (κ, E) ⇒ ♢_{κ}.