EJERCICIOS IV

He aquí los primeros ejercicios sobre aplicaciones del Axioma de Martin. La mayoría de estos son tomados del libro de K. Kunen.

(1) (Alejandro) Si f, g ∈ ω^{ω}, defina f ≤^{∗} g si y sólo si existe n ∈ ω tal que para m > n se tiene que f (n) ≤ g (n). Sea F ⊆ ω^{ω} con |F| ≤ κ. Suponiendo MA(κ), demuestre que existe g ∈ ω^{ω} tal que f ≤^{∗} g, para todo f ∈ F. Sugerencia: Considere ℙ como el conjunto de pares ⟨p, F ⟩ tales que p; ω → ω es una función parcial finita^{1} y F es un subconjunto finito de F. Ponga ⟨p, F ⟩ ≤ ⟨q, F′⟩ si p ⊇ q, F ⊇ F′ y

(∀f ∈ F′) (∀n dom (p) \ dom (q)) (p (n) > f (n)) .

(2) (Osvaldo) Un orden parcial ℙ tiene a ℵ_{1} como precalibre si siempre que p_{α} ∈ ℙ, con α < ω_{1}, hay un subconjunto no numerable X de ω_{1} tal que {p_{α} : α ∈ X} tiene la pif ; es decir, que para cualquiera de sus subconjuntos finitos F ⊆ X exite q ∈ ℙ tal que q ≤ p_{α} para todo α ∈ F. Demuestre que cualqueir ℙ que es c.c.c. tiene a ℵ_{1} como precalibre si se asume MA(ℵ_{1}) .

(3) (Érica) Suponga MA(κ) y sea ⟨X, ≤⟩ un orden todal con |X| ≤ κ. Demuestre que hay a_{x} ⊆ ω, para x ∈ X tales que x < y ⇒ a_{x} ⊂^{∗} a_{y}. Sugerencia: ℙ es el conjunto de pares ⟨p, n⟩ tales que n ∈ ω, dom (p) ∈ [X]^{<ℵ_{0}} y p (x) ∈ n para cada x ∈ dom (p). Y donde ⟨p, m⟩ ≤ ⟨q, n⟩ si m ≥ n, dom (q) ⊆ dom (p),

(∀x ∈ dom (q)) (p (x) ∩ n = q (x))

y

(∀x, y ∈ dom (q)) (x < y ⇒ (p (x) \ q (x)) ⊆ n) .

El Lema del Δ-sistema puede ayudar a demostrar que ℙ es c.c.c.

(4) (Pável) Suponga MA(κ). Sea A una familia de subconjuntos de ℝ que son medibles según Lebesgue y |A| = κ. Demuestre que ⋃ A es medible según Lebesgue y que μ (⋃ A) = μ (⋃ B) para algún B ⊆ A numerable.

(5) (Iván) Suponga MA(ℵ_{1}). Sea A_{α} ⊆ ℝ medible según Lebesgue, para α < ω_{1}, con μ (A_{α}) > 0. Demuestre que para algún subconjunto no numerable X de ω_{1}, μ (⋂_{α∈X} A_{α}) > 0. Sugerencia: Si para cada α < ω_{1} se tuviera μ (A_{α}) > ε, sea

ℙ = {s ⊆ ω_{1} : |s| < ℵ_{0} & μ (_{⋂α∈s}A_{α}) > ε} .

1En la notación p; ω → ω observe el “;” en lugar de “:” usado para denotar funciones totales.

Demuestre que ℙ es c.c.c. y use otro de los ejercicios de esta lista.

(6) (David) Suponga MA + ¬CH. Sea F una familia de menos que 𝔠 subconjuntos de ω tal que la intersección de cada subfamilia finita de elementos de F es infinita. Demuestre que existe un subconjunto infinito D ⊆ ω tal que D es una pseudointerseción de F; es decir, D \ F es finito para cada F ∈ F. A este resultado se le conoce como el Lema de Booth o como el principio 𝔭 = 𝔠.