Tarea I

6. Demuestre que si κ ≤ α ≤ κ^{+}, entonces existen X_{n} ⊆ α con n ∈ ω, tales que α = ⋃_{n∈ω} X_{n} y type(X_{n}) ≤ κ^{n}.

Demostración

Por inducción sobre α.

Para α = κ se cumple que κ ≤ κ ≤ κ^{+} y ∅,κ ⊆ κ entonces podemos escribir κ = ∅ ∪ κ ∪ ∅ ∪ · · ·. Además type(κ) ≤ κ.

Supongamos que se cumple para β:

a) Sea ζ sucesor, ζ = s(β). Por hipótesis se tiene que β = ⋃_{n∈ω} X_{n}. Sea X̃_{0} = {β} y X̃_{i+1} = X_{i} para i ∈ ω. Por hipótesis se cumple que type(X̃_{n}) ≤ κ^{n} y además es claro que también se cumple que type(β) ≤ κ^{n}.

b) Sea ζ límite. Tenemos que cf(ζ) ≤ κ. Por hipótesis, para cada α_{i} se tiene α_{i} = ⋃_{n∈ω} X(α_{i}, n). Entonces para cubrir a ζ es necesario tomar una sucesión cofinal. Sea (α_{i})_{i≤cf(ζ)} sucesión cofinal creciente. Consideremos los siguientes conjuntos:

X̃_{0} = ∅

X̃_{1} = ⋃_{n∈ω} X(a_{n+1}, 0) \ α_{n})

⋮

X̃_{i} = ⋃_{n∈ω} X(a_{n+1}, i − 1) \ α_{n})

Para el tipo de orden se tiene que type(X̃_{0}) = 1, type(X̃_{1}) = κ y para X̃_{2} es unión de κ segmentos de longitud menor que κ, así type(X̃_{2}) ≤ κ^{2}. Entonces, se tiene que, type(X̃_{n}) ≤ κ^{n}.