Tarea II

1. Demuestre que si F es una familia no numerable de funciones parceiales de ω_{1} en ω cuyo dominio es finito, entonces F contiene dos funciones que son compatibles.

Demostración

Como los dominios de las funciones en F forman una familia no numerable de conjuntos finitos, aplicando el Δ-lema se tiene que existe B ⊆ F no numerable de modo que los dominios de sus elementos forman un Δ-sistema. Por lo tanto, existe r tal que dom (f)∩dom (g) = r para cualesquiera f, g ∈ B.

Ahora, |ω^{r}| = ℵ_{0} y f|_{r} ∈ ω^{r}, para f ∈ B. Por lo tanto, existen β, γ tales que f_{β}|_{r} = f_{γ}|_{r}

[figure: f_{β} f_{γ}]

Y se tiene que f_{β} ∪ f_{γ} es función.