Ejercicio III.2

Iván Martínez Ruiz

Los siguientes son equivalentes:

(a) ♢: Existe una sucesión {A_{α} : α < ω_{1}} tal que, para cada α < ω_{1}, A_{α} ⊆ α y si X ⊆ ω_{1}, entonces {γ < ω_{1} : X ∩ γ = A_{γ}} es estacionario.

(b) Existen A_{α} ⊆ α×α, para α < ω_{1} tal que para todo A ⊆ ω_{1}×ω_{1}

{α ∈ ω_{1}|A ∩ (α × α) = A_{α}}

es estacionario.

(c) Existen funciones f_{α} : α → α para α < ω_{1}, tal que para cada f : ω_{1} → ω_{1}:

(∃α < ω_{1})(f ↾_{α}= f_{α} ∧ α > 0).

(d) Existen funciones f_{α} : α → α para α < ω_{1}, tal que para cada f : ω_{1} → ω_{1}:

{α ∈ ω_{1} : f ↾_{α}= f_{α}}

es estacionario.

Demostración.

(a) ⇒ (b) ] Sea f : ω_{1} × ω_{1} → w_{1} una función biyectiva. Quisiera probar que

H = {γ < ω_{1} : f[γ × γ] = γ}

es club.

Se sabe que B = {γ < ω_{1} : f[γ × γ] ⊆ γ} es un club Si se prueba que C = {γ < ω_{1} : f[γ × γ] ⊇ γ} es club, entonces se tendrá lo deseado.

1. C es cerrado. Sea δ < ω_{1} tal que sup(δ ∩ C) = δ. Esto es, ⋃_{γ∈δ∩C}γ = δ.

f^{−1}[δ] = ⋃_{γ∈δ∩C}f^{−1}[γ] ⊆ ⋃_{γ∈δ∩C}γ × γ ⊆ δ × δ; y así δ ⊆ f[δ × δ], es

decir, δ ∈ C.

2. C es no acotado. Sea α < ω_{1} y sea γ_{0} > α; elíjase γ_{1} > γ_{0} tal que f^{−1}[γ_{0}] ⊆ (γ_{1} × γ_{1}). Inductivamente elíjase γ_{n+1} tal que γ_{n+1} > γ_{n} y f^{−1}[γ_{n}] ⊆ (γ_{n+1} × γ_{n+1}). Sea γ = sup{γ_{n} : n < ω}. Se cumple entonces que γ ∈ C.

Por lo tanto, C es club y ésto prueba la afirmación.

Por hipótesis, existe {A_{α} : α < ω_{1}} tal que para cada α < ω_{1} A_{α} ⊆ α, y para cada A ⊆ ω_{1}, {γ < ω_{1} : A∩γ = A_{γ}} es estacionario. Para cada γ < ω_{1} defínase B_{γ} como sigue:

- Si γ ∈ H, sea B_{γ} = f^{−1}[A_{γ}]

- Si γ ∉ H, sea B_{γ} = γ × γ.

Claro que (∀γ < ω_{1})(B_{γ} ⊆ γ × γ). Sea A ⊆ w_{1} × ω_{1}. Veamos que E = {γ < ω_{1} : A ∩ γ × γ = B_{γ}} es estacionario.

Sea D un club. Entonces H ∩ D es un club. Entonces {γ < ω_{1} : f[A] ∩ γ = A_{γ}} es estacionario. Por lo tanto,

(∃α ∈ D ∩ H)(f[A] ∩ α = A_{α}).

Esto implica que f[A] ∩ f[α × α] = A_{α} y se concluye que A ∩ (α × α) = f^{−1}[A_{α}] = B_{α}. Por lo tanto, α ∈ E ∩ D y tenemos así lo deseado.

(b) ⇒ (c) ] Por hipótesis, para cada α < ω_{1} existe A_{α} ⊆ α × α, tal que si A ⊆ ω_{1} × ω_{1}, entonces {α ∈ ω_{1}|A ∩ (α × α) = A_{α}} es estacionario.

Sea α < ω_{1}. Si A_{α} es función, entonces sea f_{α} = A_{α}. En otro caso, si A_{α} no es función, sea f_{α} ≡ 0, la función constante 0.

Ahora, sea f : ω_{1} → ω_{1} una función. Se cumple que f ⊆ ω_{1} × ω_{1}; por tanto B = {γ ∈ ω_{1}|f ∩ (γ × γ) = A_{γ}} es estacionario.

Por otro lado, por un resultado anterior, C = {γ < ω_{1} : f[γ] ⊆ γ} es club Como B es estacionario entonces C ∩ B ≠ ∅, es decir, (∃α < ω_{1})(f[α] ⊆ α ∧ f ∩ (α × α) = A_{α}). Por tanto, f ∩ (α × α) = f ↾_{α}: α → α es función y así A_{α} = f_{α} es la función que estamos buscando.

(c) ⇒ (d)] Considérense los siguientes enunciados:

(e) : Existe una sucesión {F_{α} : α < ω_{1}} tal que F_{α} ⊆ α^{α}, |F_{α}| ≤ ℵ_{0} y si f : ω_{1} → ω_{1}, existe α ≥ ω tal que f ↾_{α}∈ F_{α}.

(f) : Existe una sucesión {S_{α} : α < ω_{1}} tal que S_{α} ⊆ ℘(α), |S_{α}| ≤ ℵ_{0} y si X ⊆ ω_{1}, existe α ≥ ω tal que X ∩ α ∈ S_{α}.

(g) : Existe una sucesión {S_{α} : α < ω_{1}} tal que S_{α} ⊆ ℘(α), |S_{α}| ≤ ℵ_{0} y si X ⊆ ω_{1}, existe un ordinal límite α ≥ ω tal que X ∩ α ∈ S_{α}.

(h) : Existe una sucesión {S_{α} : α < ω_{1}} tal que S_{α} ⊆ ℘(α), |S_{α}| ≤ ℵ_{0} y si X ⊆ ω_{1}, {α < ω_{1} : X ∩ α ∈ S_{α}} es estacionario.

Probaremos :

(c) ⇒ (e) ⇒ (f) ⇒ (g) ⇒ (h) ⇒ (a) ⇒ (d)

(c) ⇒ (e)] Basta definir, para cada α < ω_{1}, F_{α} = {f_{α}}.

(e) ⇒ (f)] Sea {F_{α} : α < ω_{1}} una sucesión con las propiedades dadas. Para cada α < ω_{1}, sea F_{α} = {f_{α}^{n} : n < ω_{1}} y defínase S_{n}^{α} = {β ∈ α : f_{n}^{α}(β) = 0}. Por último, sea S_{α} = {S_{n}^{α} : n < ω_{1}}.

Se cumple que {S_{α} : α < ω_{1}} satisface las propiedades requeridas (si X ⊆ ω_{1}, basta definir f : ω_{1} → ω_{1}, dada por f(β) = 0 si β ∈ X y f(β) = 0 en otro caso ).

(f) ⇒ (g)] Sea S_{α} = {S_{n}^{α} : n < ω_{1}} como en (f); para cada

α < ω_{1}, defínase T_{α} ⊆ ℘(α) por T_{α} = {X ∩ α : X ∈ ⋃_{n<ω}S_{α+n}}.

Es claro que, para cada α < ω, |T_{α}| ≤ ℵ_{0}.

Afirmamos que {T_{α} : α < ω_{1}} es la familia que estamos buscando: Sea X ⊆ ω_{1} un subconjunto dado; entonces existe α ≥ ω tal que X ∩ α ∈ S_{ω}.

(i) Si α es límite, no hay más que hacer.

(ii) Si α no es límite, entonces α = η + n, para algún ordinal límite η y n < ω. Como X ∩ α ∈ S_{η+n}, X ∩ η = (X ∩ α) ∩ η ∈ T_{η}. Por tanto, η es el ordinal límite requerido.

(g) ⇒ (h)] Sea {S_{α} : α < ω_{1}} como en (g). Sea j : ω_{1} → ω_{1}, dada por j(γ) = 2γ. Nótese que si α es límite, j ↾: α : α → α y ran(ω_{1}\α) ∩ α = ∅.

Para cada α < ω_{1}, defínase T_{α} = {j^{−1}[X] : X ⊆ S_{α}}. Es claro que T_{α} ⊆ ℘(α) y |T_{α}| ≤ ℵ_{0}.

Afirmamos que {T_{α} : α < ω_{1}} satisface (h):

Sea X ⊆ ω_{1}. Deseamos probar que {α < ω_{1} : X ∩ α ∈ T_{α}} es estacionario en ω_{1}; para ésto, sea C un club de ω_{1}. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que todo ordinal en C es límite y si α, β ∈ C son tales que α < β, entonces α + ω · ω ≤ β ( pues el conjunto de puntos límite es club y la intersección de dos club es también un club).

Sea {C_{γ} : γ < ω_{1}} la ennumeración monótona de C. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que C_{0} = 0. Definamos ahora un conjunto Z_{0} ⊆ ω_{1} por inducción:

Supóngase que hemos definido Z_{0} ∩ C_{γ}. Sea {τ_{n}^{γ} : n < ω} una ennumeración de {τ ∈ ω_{1} : τ es límite y C_{γ} < γ < C_{γ+1}} y sea {X_{m}^{γ} : m < ω} una ennumeración de ⋃_{n<ω}S_{τ_{n}^{γ}}. Para cada m < ω,

diremos que ρ = C_{γ} + 2m + 1 ∈ Z_{0} si y sólo si ρ ∉ X_{m}^{γ}.

Hemos definido así Z_{0}.

Sea Z = Z_{0} ∪ Z_{1}, donde Z_{1} = j[X] ( Z_{0} consiste de los ordinales impares de Z y Z_{1} de los ordinales pares). Por hipótesis, existe un ordinal límite α ≥ ω tal que Z ∩ α ∈ S_{α}.

Afirmamos que α ∈ C. Supóngase lo contrario; entonces existe γ < ω_{1} tal que C_{γ} < α < C_{γ+1}. Por lo tanto, α = τ_{n}^{γ} para algún n < ω. Se cumple que Z ∩ α = X_{m}^{γ}, para algún m < ω ( pues Z ∩α ∈ S_{α}). Entonces: C_{γ} +2m+1 ∈ Z si y sólo si C_{γ} +2m+1 ∈ Z si y sólo si C_{γ} + 2m + 1 ∉ X_{m}^{γ} = Z ∩ α, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, α ∈ C. Por último, nótese que X ∩ α = j^{−1}[Z_{1}] ∩ α = j^{−1}[Z] ∩ α = j^{−1}[Z ∩ α] ∈ T_{α} (pues Z ∩ α ∈ S_{α} ).

(h) ⇒ (a)] La demostración aparece en la página 85 del libro de Set Theory, An Introduction..., de Kennet Kunen.

(a) ⇒ (d)] Sea {S_{α} : α < ω_{1}} una sucesión como en (a) y sea j : ω_{1} × ω_{1} → ω_{1} una biyección. Se verifica que C = {α < ω_{1} : α es límite y j[α × α] = α es un club em ω_{1}.

Para α ∈ C, sea f_{α} = j^{−1}[S_{α}] si f_{α} es función, y sea f_{α} = ∅ en otro caso. Si α ∉ C, sea f_{α} = ∅.

Se cumple que {f_{α} : α < ω_{1}} es la familia deseada.

(d) ⇒ (a)] Para cada α < ω_{1} defínase A_{α} := f_{α}[α]. Nótese que A_{α} ⊆ α.

Sea A ⊆ ω_{1} y sea f : ω_{1} → ω_{1} dada por f(α) = α si α ∈ A y f(α) = minA si α ∉ A

Por hipótesis, {γ < ω_{1} : f ↾_{γ}= f_{γ}} es estacionario.

Afirmación: {γ < ω_{1} : f ↾_{γ}= f_{γ}} ⊆ {γ < ω_{1} : A ∩ γ = A_{γ} = f_{γ}[γ]}.

En efecto, sea γ < ω_{1} tal que f ↾_{γ}= f_{γ}. Probemos que A ∩ γ = A_{γ} = f_{γ}[γ].

⊆] Sea α ∈ A ∩ γ. Entonces se cumple que α = f(α) = f ↾_{γ} (α) = f_{γ}(α) ∈ f_{γ}[γ], y así α ∈ A_{γ}.

⊇] Si α ∈ A_{γ} = f_{γ}[γ]; entonces α ∈ f ↾_{γ} [γ]. Dado que α ∈ A_{γ}, se cumple que α ∈ γ. Más aún, α ∈ A se sigue del hecho de que f ↾_{γ} [γ] ⊆ A.

De lo anterior se concluye que α ∈ A ∩ γ, lo cual se demuestra la afirmación.

Por último, de la afirmación anterior se concluye que {γ < ω_{1} : A ∩ γ = A_{γ} = f_{γ}[γ]} es estacionario (en general, si U ⊆ V y U es estacionario, entonces V también lo es).