Ejercicio 1 Segunda parte

Ahora probaremos que P rop implica el AE

Sea {A_{α} : α ∈ I} una familia de conjuntos no vacíos. Sin perder generalidad, supongamoslos ajenos dos a dos.

Para cada α ∈ I Sea τ_{α} la topología cofinita en el conjunto A_{α}.

Consideremos el conjunto

⋃_{α∈I} A_{α}

con la topología τ definida como sigue:

G ⊆ ⋃_{α∈I} A_{α} es abierto syss para cada α ∈ I, (G ∩ A_{α}) ∈ τ_{α}.

Es fácil ver que τ así definida es una topología para el conjunto ⋃_{α∈I} A_{α} y que F ⊆ ⋃_{α∈I} A_{α} es cerrado syss para cada α ∈ I, F ∩ A_{α} es cerrado en A_{α}

Definimos la siguiente función:

f : ⋃_{α∈I} A_{α} → I definida por f(x) = β ∈ I donde A_{β} es el conjunto tal que x ∈ A_{β} (como es una unión de conjuntos ajenos, para cada x ∈ ⋃_{α∈I} A_{α} hay sólo un elemento de la familia al cual x pertenece, por lo que la función está bien definida).

Consideremos al conjunto de indices I con la topología discreta. Entonces, la función f es una función perfecta.

f es continua. Sea B ⊆ I, veamos que f^{−1}[B] ∈ τ.

Para cada α ∈ I, (f^{−1}[B]∩A_{α}) ∈ τ_{α} (Si α ∈ B, entonces f^{−1}[B]∩A_{α} = A_{α}; Si α ∉ B entonces f^{−1}[B]∩A_{α} = ϕ, en cualquiera de los dos casos, f^{−1}[B]∩A_{α} ∈ τ_{α} por lo tanto f^{−1}[B] ∈ τ). Asi, f es continua.

f es cerrada. Esto es trivial porque la topología de I es la discreta, por lo tanto f[H] es cerrado, para cualquier H ⊆ ⋃_{α∈I} A_{α}, en particular, para H cerrados.

f^{−1}[α] es compacto, para cada α ∈ I. f^{−1}[α] = A_{α} el cual es compacto porque tiene la topología cofinita.

Por lo tanto f es una función perfecta. Por P rop, f tiene una restriccion ireducible a algún subconjunto cerrado del dominio, digamos B ⊆ ⋃_{α∈I} A_{α}. B es cerrado, y f[B] = Y y B es mínimo con respecto a la contención.

Afirmación: Para toda α ∈ I, |B ∩ A_{α}| = 1.

Si B ∩ A_{α} = ϕ Entonces f(x) ≠ A_{α} para toda x ∈ B, por lo tanto α ∉ f[B] contradiciendo el hecho que la imagen de B es todo I.

Si |B ∩A_{α}| > 1 para algún α ∈ I, entonces para cualquier C ⊊ B ∩A_{α} con C finito, el conjunto (B\A_{α}) ∪ C es cerrado en ⋃_{α∈I} A_{α} (la intersección con cada A_{β} si β ≠ α, es la misma que la interseccion de B con A_{β}, en otras palabras, para cada β ≠ α, B ∩ A_{β} = ((B\A_{α}) ∪ C) ∩ A_{β} el cual es un cerrado en el correspondiente A_{β} y para α, ((B\A_{α}) ∪ C) ∩ A_{α} = C que tambien es cerrado, por lo tanto (B\A_{α}) ∪ C es cerrado en la union).

De esta manera, el conjunto (B\A_{α}) ∪ C es un subconjunto propio de B, cerrado en ⋃_{α∈I} A_{α} cuya imagen es todo I, lo cual contradice el hecho que B es minimo respecto a la contención.

Por lo tanto, |B ∩ A_{α}| = 1 para todo α ∈ I. Definimos una función g : I → ⋃_{α∈I} A_{α} de la siguiente manera. g(α) = f^{−1}[α] ∩ B = A_{α} ∩ B. La función g está bien definida porque |B ∩ A_{α}| = 1. De esta manera g es

una función de elección. Por lo tanto prop ⇒ AE