Ejercicios III Pregunta 5.

Demuestre que lo siguiente es inconsistente: Existen A_{α} ⊆ α para α < ω_{1} tales que para todo estacionario A ⊆ ω_{1}, existe α ∈ A tal que A ∩ α = A_{α}

Antes de dar la prueba, recordemos el Pressing Down Lemma:

Sea κ > ω regular, S un subconjunto estacionario de κ y f : S → κ tal que ∀γ ∈ S(f(γ) < γ); Entonces para algún β < κ, f^{−1}[β] es estacionario.

Prueba: Supongamos que existen A_{α} ⊆ α para α ∈ ω_{1} que cumplen la afirmación. Dado que ω_{1} es estacionario, (digamos en el papel de S para usar el Pressing Down Lemma) y que ω_{1} es regular y mayor que ω (en el papel de κ), podemos definir una función f : ω_{1} → ω_{1} como sigue: f(α) = x_{α} donde x_{α} ∈ A_{α}. Entonces, como A_{α} ⊆ α y x_{α} ∈ A_{α}, se tiene f(α) < α.

Por el lema Pressing Down, existe un β ∈ ω_{1} tal que f^{−1}[β] es estacionario. Sea B = f^{−1}[β]. Por la afirmación, existe α ∈ B tal que

B ∩ α = A_{α}

Entonces, como α ∈ B = f^{−1}[β], f(α) = β. Además, f(α) ∈ A_{α} por lo tanto β ∈ A_{α} y como B ∩ α = A_{α}, entonces β ∈ B ∩ α en particular, β ∈ B, lo cual significa que f(β) = β, contradiciendo el hecho que f(β) ∈ A_{β}, en particular que f(β) < β.