Ejercicios 1 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. Sea X un conjunto no vacío. Entonces τ_{f} = {U ⊆ X : X \ U es finito} ∪ {∅} es una topología sobre X. Al espacio (X, τ) se le suele llamar espacio cofinito.

2. Sea X un conjunto no vacío. Entonces

τ_{c} = {U ⊆ X : X \ U es a lo más numerable} ∪ {∅}

es una topología sobre X. Al espacio (X, τ) se le suele llamar espacio conumerable. ¿Es la familia

τ_{∞} = {∅} ∪ {U ⊆ X : X \ U es infinito}

una topología sobre X?

3. Sea X = {0, 1, } y sea τ = {∅, X, {0}}. Entonces τ es una topología sobre X y el espacio (X, τ) se le conoce como espacio de Sierpiński.

4. (a) Si {τ_{α} : α ∈ I} es una familia de topologías sobre un conjunto no vacío X, entonces ⋂_{α∈I} τ_{α} es una topología sobre X. ¿Es ⋃_{α∈I} τ_{α} una topología?

(b) Si {τ_{α} : α ∈ I} es una familia de topologías sobre un conjunto no vacío X, entonces hay una única topología ⊆-mínima que contiene a cada τ_{α} para α ∈ I y hay una ⊆-máxima topología, única, que está contenida en cada τ_{α}, para cada α ∈ I.

(c) Si X = {0, 1, 2} y τ_{0} = {∅, X, {0} , {0, 1}} y τ_{2} = {∅, X, {0} , {1, 2}}, encuentre las topologías de que habla la parte anterior.

5. Sea (X, τ) un espacio. Entonces un subconjunto A de X es un conjunto

abierto si y sólo si A = A^{∘}.

6. Sea (X, τ) un espacio. Entonces un subconjunto A de X es un conjunto cerrado si y sólo si A = \overline{A}.

7. En clase vimos que τ = {∅} ∪ {U ⊆ X : x_{0} ∈ U} es una topología sobre cualquier conjunto X tal que x_{0} ∈ X. Muestre que cualquier x ∈ X \{x_{0}} es un punto límite de X y que la clausura de cualquier abierto no vacío es X.

8. Sean (X, τ) un espacio y A ⊆ X. Entonces A es cerrado si todo punto clausura de A pertenece a A.

9. Sea (X, τ) un espacio. Un subconjunto abierto U de un espacio X se

llama abierto regular si \overline{U}^{∘} = U. Entonces:

(a) \overline{A}^{∘} es un abierto regular para cada A ⊆ X,

(b) si U y V son abiertos regulares, entonces U ∩ V también lo es.

(c) si U y V son abiertos regulares, entonces U ∪ V no necesariamente es un abierto regular.

10. Sean (X, τ) un espacio y A ⊆ X. Entonces \overline{A} = X \ int (X \ A).

11. Sean (X, τ) un espacio y A, B ⊆ X. Entonces \overline{A ∩ B} ⊆ \overline{A} ∩ \overline{B}. De un ejemplo que muestre que la igualdad puede no ser cierta.

12. Sean (X, τ) un espacio y F un subconjunto cerrado de X. Entonces F = int (F) ∪ ∂F y int (F) = int (\overline{int (F)}).

13. El orden lexicográfico en ℝ^{2} está dado por:

⟨a, b⟩ ≤ ⟨x, y⟩ si y sólo si a < x o a = x & b ≤ y.

Considere la topología inducida por el orden lexicográfico en ℝ^{2} y encuentre la clausura, el interior, los puntos límite y los puntos aislados de I_{1} = [0, 1] × [0, 1], I_{0} = [0, 1] × (0, 1). Demuestre también que existe una familia no numerable de abiertos ajenos por pares; concluya de aquí que \overline{ℚ × ℚ} ≠ ℝ^{2}.

14. Considere ahora el cuadrado unitario I_{1} = [0, 1] × [0, 1] con el orden lexicográfico restringido y con la topología del orden sobre este. ¿Cuál es la cerradura y el interior de [0, 1] × {0}? ¿Cuáles de sus puntos son puntos límite o aislados?

15. Un subconjunto N de un espacio (X, τ) es denso en ninguna parte si y sólo si para todo abierto no vacío U de X existe un abierto no vacío V ⊆ U tal que V ∩ N = ∅.