Ejercicios 10 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. (a) Sean τ_{0} y τ_{1} dos topologías sobre un conjunto X tales que τ_{0} ⊆ τ_{1}. ¿Qué se puede decir sobre la compacidad de X con respecto a las dos topologías?

(b) Si X es Hausdorff y compacto con ambas topologías, entonces o bien τ_{0} = τ_{1} o ellas no son compatibles.

2. Todo subconjunto compacto de un espacio métrico es acotado con esa métrica y es también cerrado. Encuentre un espacio métricoen el cual no todo subconjunto cerrado y acotado es compacto.

3. Considere el espacio producto X ×Y donde Y es compacto. Si N es un conjunto abierto de X × Y tal que {x_{0}} × Y ⊆ N, para algún x_{0} ∈ X, entonces existe una vecindad W de x_{0} tal que N ⊇ W × Y.

4. Sea f : X → Y, siendo Y compacto y Hausdorff. Entonces f es continua si y sólo si la gráfica de f,

G_{f} = {⟨x, f (x)⟩ : x ∈ X} ,

es un subconjunto cerrado de X × Y.

5. Sea X un espacio compacto y Hausdorff. Sea A una familia de subconjuntos cerrados y conexos de X la cuala está linealmente ordenada por la inclusión. Entonces Y = ⋂ A es conexo y no vacío.

6. Un espacio se llama numerablemente compacto si cualquier cubierta abierta numerable tiene una subcubierta finita.

Todo espacio compacto es numerablemente compacto; pero hay espacios numerablemente compactos que no son compactos. Uno de ellos es ω_{1} con su topología del orden.

7. Un espacio X es numerablemente compacto si y sólo si toda familia numerable de conjuntos cerrados con la propiedad de la intersección finita tiene intersección no vacía.

8. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

(a) El espacio X es numerablemente compacto.

(b) Cualquier familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es finita.

(c) Cualquier familia localmente finita de subconjuntos de X consistentes de un punto es finita.

(d) Cualquier subconjunto infinito tiene un punto de acumulación.

(e) Todo subconjunto numerable de X tiene un punto de acumulación.

9. Si X es numerablemente compacto y Y es compacto, entonces X × Y es numerablemente compacto. (Hay ejemplos de espacios numerablemente compactos cuyo producto no es numerablemente compacto. Por ahora necesitamos más herramientas para construir tales espacios.)

10. Un espacio Hausdorff X es secuencialmente compacto si toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente. Cualqueir espacio secuencialmente compacto es numerablemente compacto. (Pronto conoceremos un espacio que es compacto pero que no es secuencialmente compacto.)

11. Si X es primero numerable y numerablemente compacto, entonces X es secuencialmente compacto.

12. (El Lema del número de Lebesgue) Sea A una cubierta abierta de un espacio métrico (X, d). Si X es compacto, existe δ > 0 tal que para cada subconjunto de X teniendo diámetro menor que δ está contenido en un elemento de A.

13. El producto cartesiano de una familia numerable de espacios secuencialmente compactos es secuencialmente compacto.

14. Si X es numerablemente compacto y Y es secuencialmente compacto, entonces X × Y es numerablemente compacto.

15. Para un espacio métrico las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) X es compacto.

(b) X es numerablemente compacto.

(c) X es secuencialmente compacto.

16. Un producto topológico ∏_{α∈I} X_{α} es localmente compacto si y sólo si X_{α} es localmente compacto para todo α ∈ I y existe un conjunto finito J ⊆ I tal que X_{α} es compacto para todo α ∈ I \ J.

17. Cualquier subespacio localmente compacto M de un espacio Hausdorff X es un subconjunto abierto de la clausura \overline{M} en el espacio X; es decir puede representarse en la forma F ∩ U donde F es un cerrado en X y U es un abierto en X.