Ejercicios 11 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. En un espacio T_{1} y primero numerable cualquier conjunto con un punto es un conjunto G_{δ}.

2. Sea X un espacio Hausdorff y primero numerable y sean A ⊆ X y x ∈ X. Entonces x ∈ \overline{A} si y sólo si existe una sucesión ⟨a_{n} : n ∈ ω⟩ de términos en A tal que a_{n} → x.

3. Sea X un espacio Hausdorff y primero numerable y sea f : X → Y una función. Entonces f es una función continua si y sólo si, para todo x ∈ X, se tiene que f (x_{n}) → f (x) para cada sucesión ⟨x_{n} : n ∈ ω⟩ de términos en X que converge a x.

4. Si X es un espacio segundo numerable y A es un subconjunto no numerable, entonces :

(a) El subespacio A de X no es discreto.

(b) El conjunto A contiene ana cantidad no numerable de sus puntos límite.

5. Si X es segundo numerable y A es una base para la topología de X entonces A contiene una base numerable.

6. Si X es un espacio segundo numerable, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) X es compacto,

(b) X es numerablemente compacto,

(c) X es secuencialmente compacto.

7. ¿Es I × I metrizable con la topología del orden lexicográfico? Aquí I = [0, 1].

8. Si X es un espacio Lindelöf y Y es compacto, entonces X × Y es un espacio Lindelöf? ¿Puede debilitarse a que Y es sólo numerablemente compacto? ¿Qué tal Y secuencialmente compacto?

9. Sea C_{∞} (X, ℝ) el conjunto de funciones continuas con valores reales equipado con la siguiente métrica:

ϱ (f, g) = sup {|f (x) − g (x)| : x ∈ X}

para cada f, g ∈ C_{∞} (X, ℝ) .

10. El subespacio X del cubo de Tychonoff I^{𝔠} = ∏_{t∈I} I_{t}, donde I_{t} = I para cada t ∈ I, consistente de todas las funciones no decrecientes de I en I es llamado el espacio de Helly.

(a) El espacio de Helly es compacto.

(b) El espacio de Helly contiene un subespacio discreo de cardinalidad 𝔠 y un subespacio homeomorfo a la recta de Sogenfrey ℝ_{ℓ}.

(c) El espacio de Helly es primero numerable.

(d) El espacio de Helly es separable.