Ejercicios 12 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. Sea f : ℝ → ℝ una función cualquiera. Entonces el conjunto de puntos donde f es continua es un conjunto G_{δ}. Concluya que no exite una función continua exáctamente sobre ℚ. ¿Hay una que sea continua en ℝ \ ℚ?

2. Un espacio métrico X es totalmente acotado si para todo ε > 0 existe un conjunto finito F ⊆ X tal que X = ⋃ {B (x; ε) : x ∈ F } .

Un espacio métrico X es compacto si y sólo es completo y totalmente acotado.

3. Toda métrica sobre un espacio compacto es completa.

4. Se dice que dos métricas d_{0} y d_{1} sobre un conjunto X son equivalentes si ellas generan la misma topología sobre X.

Dos métricas d_{0} y d_{1} sobre un conjunto X son equivalentes si y sólo si ellas inducen las mismas sucesiones convergentes.

5. Un espacio X es un espacio de Baire si ⋃_{n∈ω} N_{n} tiene interior vacío para cualquer colección {N_{n} : n ∈ ω} de conjuntos cerrados con interior vacío

Cualquier subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.

6. Si cada punto de X tiene una vecindad que es un espacio de Baire, entonces X es un espacio de Baire.

7. Si Y es un subespacio G_{δ} de un espacio Hausdorff y compacto o un espacio métrico completo, entonces Y es un espacio de Baire.

8. ¿Es ℝ_{ℓ} un espacio de Baire?

9. ¿Es R^{κ} un espacio de Baire? Aquí κ es un cardinal infinito.

10. Si A es cualquier conjunto G_{δ} entonces existe una función f : ℝ → ℝ que es continua exáctamente sobre A.

11. Sea D (κ) el espacio discreto de cardinalidad κ ≥ ℵ_{0}. Sea B (κ) = [D (κ)]^{ℵ_{0}}. Entonces lo siguiente define una métrica sobre B (κ): Para cada x, y ∈ B (κ) sea

ϱ (x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{k+1}, & si x ≠ y & k = min \{n ∈ ω : x (n) ≠ y (n)\} \\ 0, & si x = y. \end{matrix}

A B (κ) con esta métrica se le llama el espacio de Baire de peso κ. Una sucesión ⟨x_{m} : m ∈ ω⟩ en B (κ) converge a un punto x ∈ B (κ) si y sólo si para cada i ∈ ω existe k_{i} ∈ ω tal que x (i) = x_{m} (j) para cada j ≥ k_{i}.

12. Sea d la métrica discreta sobre D (κ) y sea

σ (x, y) = ∑_{n∈ω} \frac{1}{2^{n}} d (x (n) , y (n)) ,

para cada x, y ∈ B (κ). Se sabe que σ define otra métrica sobre B (κ). Entonces una sucesión ⟨x_{m} : m ∈ ω⟩ en B (κ) converge a un punto x ∈ B (κ) si y sólo si para cada i ∈ ω existe k_{i} ∈ ω tal que x (i) = x_{m} (j) para cada j ≥ k_{i}; es decur, la misma condición del ejercicio anterior. Concluya que σ y ϱ son métricas equivalentes sobre B (κ) .

13. El espacio de Baire B (ω) es homeomorfo al subespacio de los números irracionales de ℝ.