Ejercicios 13 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. Un par de subconjuntos A y B de un espacio X están completamente separados si existe una función continua f : X → ℝ tal que f [A] ⊆ {0} y f [B] ⊆ {1} .

Todo par de subconjuntos completamente separados de un espacio Tychonoff tienen clausuras ajenas en su compactación de Čech-Stone.

2. Todo par de conjuntos cerrados de un espacio normal X tienen clausuras ajenas en βX.

3. Si un subespacio M de un espacio de Tychonoff X tiene la propiedad de que cualquier función continua f : M → [0, 1] es continuamente extendible sobre X, entonces la clausura \overline{M} de M en βX es una compactación equivalente a βM.

4. Para cualquier espacio de Tychonoff X y cualquier T tal que X ⊆ T ⊆ βX se tiene que βT = βX.

5. Todo conjunto cerrado e infinito F ⊆ βω contiene un subespacio homeomorfo a βω; en particular, F tienen cardinalidad 2^{𝔠}.

6. El espacio βω no tiene subespacios homeomorfos a A (ω); es decir, en βω no hay sucesiones convergentes no triviales.

7. A (κ) es la compactación por un punto del espacio discreto de cardinalidad κ, D (κ). Entonces A (κ) × {0, 1, … n − 1} una compactación de D (κ), para todo n ∈ ω.

8. El doble círculo de Alexandroff es una compactación del espacio discreto D (𝔠) y esta compactación es incomparable (en el orden ≤ definido entre compactaciones) a la compactación A (𝔠) × A (𝔠).

9. Existe una funcióon continua f : D (𝔠) → [0, 1] la cual no es continuamente extendible a las compactaciones de D (𝔠) del ejercicio anterior.

10. La función f : ω × ω → [0, 1] definida por f (m, n) = \frac{m}{m+n+1} para ⟨m, n⟩ ∈ ω × ω no es continuamente extendible a βω × βω; deduzca que βω × βω no es la compactación de Čech-Stone de ω × ω.

11. Para todo espacio Hausdorff, compacto y separable X, el producto cartesiano X × (ω_{1} + 1) es la compactación de Čech-Stone de X × ω_{1}.

12. Para cualquier compactación Y de un espacio X se tiene que |Y | ≤ 2^{2^{|D|}}, donde D es cualqueir subespacio denso de X. Existe un conjunto K^{∗} (X) tal que para cualquier compactación de X se tiene que K^{∗} (X) contiene un espacio homeomorfo a tal compactación.

13. Si en la familia K^{∗} (X) de las compactaciones de un espacio Tychonoff no compacto X existe un espacio Y que es el mínimo en el orden ≤ de las compactaciones de X, entonces X es localmente compacto y Y es homeomorfo a la compactación de Alexandroff A (X) de X.