Ejercicios 4 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. Si F es un filtro sobre un conjunto X y Y ∈ F, entonces F ∩ ℘ (Y) es un filtro sobre Y.

2. Si U es un ultrafiltro sobre X y f : X → Y es una función, entonces

f_{∗}(U) = {V ⊆ Y : f^{−1} [V] ∈ U}

es un ultrafiltro sobre Y.

3. Supóngase que F y G son filtros sobre X. Entonces

F ⊗ G = {U ⊆ X × X : {x ∈ X : {y ∈ X : ⟨x, y⟩ ∈ U} ∈ G} ∈ F}

es un filtro sobre X × X.

4. Sea X un espacio. Un filtro F converge a un punto p ∈ X si y sólo si para cualquier filtro G con G ⊇ F se tiene que p es un punto de acumunación de G.

5. Si X es un espacio y A ⊆ X, entonces un punto p ∈ X es elemento de \overline{A} si y sólo si existe una base para filtro consistente de subconjuntos de A de modo que el filtro que ésta genera converge a p.

6. Si X es un espacio y A ⊆ X, entonces un punto p ∈ X es elemento de int (A) si y sólo si A es elemento de cualquier filtro que converge a p.

7. Un espacio X tiene la propiedad de que dados dos puntos cualesquiera existen vecindades ajenas de ellos si y sólo si todo filtro sobre X tiene a lo más un punto de convergencia.