Ejercicios 5 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. Si Y es un subespacio de un espacio X y A es un subconjunto de Y, entonces

int_{Y} (A) = Y \ \overline{Y \ A} y ∂_{Y} (A) = Y ∩ \overline{A} ∩ \overline{Y \ A},

donde la barra denota al operador clausura en el espacio X.

2. Si la composición g ∘ f de funciones continuas f : X → Y y g : Y → Z es cerrada (abierta), entonces la restricción g ↾ f [X] : f [X] → Z es cerrada (abierta). Dar un ejemplo de funciones f y g que no sean cerradas (abiertas) pero que g ∘ f sí es cerrada (abierta).

3. Si f : X → Y es una función continua y M ⊆ X, entonces

f ↾ M : M → Y

también es continua.

4. Si f : X → Y es una función cerrada, entonces para cualquier subespacio M de X se tiene que la restricción f ↾ M es una función cerrada.

5. Una función f : X → Y es continua si y sólo si cada x ∈ X tiene una vecindad U tal que f ↾ U es continua.

6. Si X es un espacio, un subconjunto Y de X se llama retracto si existe una función f : X → X tal que f ∘ f = f y f [X] = Y.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) Y de X es un retracto.

(b) Cualquier función continua definida en Y es continuamente extendible a todo X.

(c) Existe una función continua r : X → Y tal que r ↾ Y = id_{Y} .

7. Demuestre que la recta de Sorgenfrey ℝ_{ℓ} es hereditariamente separable.