Ejercicios 6 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. El conjunto ∏_{s∈S} A_{s}, donde ∅ ≠ A_{s} ⊆ X_{s}, es cerrado en el producto ∏_{s∈S} X_{s} si y sólo si A_{s} es cerrado en X_{s} para todo s ∈ S.

2. Sean {X_{s} : s ∈ S} una familia no vacía de espacios y φ : S → S una biyección. Entonces los espacios ∏_{s∈S} X_{s} y ∏_{s∈S} X_{φ(s)} son homeomorfos.

3. Sea {X_{s} : s ∈ S} una familia no vacía de espacios y sea ⟨x_{n} : n ∈ ω⟩ una sucesión de puntos en el producto ∏_{s∈S} X_{s}. Entonces la sucesión ⟨x_{n} : n ∈ ω⟩ converge a un punto x ∈ ∏_{s∈S} X_{s} si y sólo si π_{s} (x_{n}) converge a π_{s} (x) para cada s ∈ S. ¿Es esto cierto si cambiamos a la topología producto por la topología caja?

4. Dado f ∈ ℝ^{X} se define el soporte de f como el conjunto

supp (f) = {x ∈ X : f (x) ≠ 0} .

Considere σℝ^{ω} = {f ∈ ℝ^{ω} : |supp (f)| < ℵ_{0}}. ¿Cuál es la clausura de σℝ^{ω} con respecto a la topología caja y a la topología producto?

5. Sean Y un conjunto, {X_{s} : s ∈ S} una familia no vacía de espacios y sea {f_{s} : s ∈ S} una familia de funciones f_{s} : Y → X_{s}.

(a) Hay una única topología más gruesa τ sobre Y relativa a la cual cada función f_{s} es continua.

(b) Sea S_{s} = {f_{s}^{−1} [U] : U es abierto en X_{s}}, y sea S = ⋃_{s∈S} S_{s}. Entonces S es una subbase para τ.

(c) Una función g : Z → Y es continua, relativa a τ, si y sólo si f_{s} ∘ g es continua para cada s ∈ S.

(d) Sea f : Y → ∏_{s∈S} X_{s} definida por la ecuación

f (y) = ⟨f_{s} (y) : s ∈ S⟩

y sea Z = f [Y] como subespacio del producto ∏_{s∈S} X_{s}. Entonces la imagen de cada elemento de τ es un subconjunto abierto de Z.

6. En el producto topológico de espacios separables, cualquier familia de conjuntos abiertos, no vacíos y ajenos por pares es a lo más numerable.