Ejercicios 7

Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. Sea π_{1} : ℝ × ℝ → ℝ la proyección en la primera coordenada.

(a) Sean X el subespacio ({0} × ℝ) ∪ (ℝ × {0}) de ℝ × ℝ y sea g = π_{1} ↾ X. Entonces g es una función cerrada pero no es una función abierta.

(b) Sean Y el subespacio (\overline{ℝ^{+}} × ℝ) ∪ (ℝ × \{0\}) de ℝ × ℝ y sea h = π_{1} ↾ Y. Entonces h no es ni abierta ni cerrada, pero es una función cociente.

2. Defina una realación de equivalencia ≈ sobre ℝ^{2} haciendo:

⟨x, , y⟩ ≈ ⟨u, v⟩ si y sólo si x + y^{2} = u + v^{2}.

Sea D la colección de clases de equivalencia con la topología cociente τ_{D}. El espacio (D, τ_{D}) es homeomorfo a una espacio familiar. ¿Cuál es?

3. Si una composición de funciones continuas f ∘g es una función cociente, entonces f también es una función cociente.

4. Si para una función continua f : X → Y existe un conjunto A ⊆ X tal que f [A] = Y y la restricción f ↾ A : A → Y es una función cociente, entonces f es una función cociente.

5. Para una relación de equivalencia E sobre un espacio X las siguientes afirmaciones son equivalentes:^{1}

(a) La proyección natural π : X → X/E es cerrada (abierta).

(b) Para cualqueir subconjunto cerrado A de X, la unión de todas las clases de equivalencia que intersectan a A es un cerrado (abierto) de X.

(c) Para cualquier conjunto abierto (cerrado) U de X la unión de todos las clases de equivalencia que están contenidas en U es un abierto (cerrado) en X.

1X/E es una notación usual para denotar al conjunto cociente; es decir, al conjunto de clases de E-equivalencia.

6. Una función cociente f : X → Y es cerrada (abierta) si y sólo si el conjunto f^{−1} [f [A]] es cerrado (abierto) para todo cerrado (abierto) A ⊆ X.

7. Para cualquier retracción f : X → X, la restricción f ↾ X : X → f [X] es una función cociente.

8. Sea {X_{α}}_{α∈J} una familia no vacía de espacios y para cada α ∈ J sea p_{α} : X_{a} → Y una función, donde Y es un conjunto no vacío.

(a) Hay una única topología más fina τ sobre Y relativa a la cual cada p_{α} es continua.

(b) Una función f : Y → Z es continua relativa a τ si y sólo si f ∘ p_{α} es continua para cada α ∈ J.