Ejercicios 9 Topología Marzo - Agosto, 2007.

1. Sea X un espacio T_{0} y sea B una base para la topología de X. Entonces |X| ≤ 2^{|B|}.

2. En un espacio X que es T_{1}, cualquier vecindad de un punto de límite de un conjunto A contiene infinitos puntos de A. También, el conjunto de todos los puntos límite de A es un conjunto cerrado.

3. Cualquier retracto^{1} de un espacio Hausdorff es cerrado.

4. Sea f : X → Y una función continua, donde Y es un espacio Hausdorff.

Entonces

{⟨x, y⟩ ∈ X × Y : y = f (x)}

es un subconjunto cerrado de X × Y.

5. Un espacio X es un espacio de Hausdorff si y sólo si Δ = {⟨x, x⟩ : x ∈ X} es cerrado en X × X.

6. Si X es un espacio Hausdorff y D es un subconjunto denso de X, entonces |X| ≤ 2^{2^{|D|}}.

7. Sea X un espacio T_{1} y sea D una partición de X consistente de conjuntos cerrados. Entonces el espacio cociente X/D es un espacio T_{1}.

8. Sea K = \{\frac{1}{n} : n ∈ ℕ\} y sea X el conjunto ℝ con la topología generada tomando como abiertos básicos a los siguientes: Cualquier intervalo abierto (a, b) y cualquier conjunto de la forma (a, b) \ K. Entonces X con esa topología es un espacio Hausdorff que no es regular.

9. Un conjunto B de un espacio normal X es un conjunto G_{δ} si y sólo si existe una función continua f : X → ℝ tal que B = {x ∈ X : f (x) = 0}.

10. Un espacio X que es un espacio T_{1} es también un espacio completamente regular si y sólo si existe una base B para la topología de X que satisface las siguientes condiciones:

(a) Para todo x ∈ X y para todo U ∈ B que contiene a x existe V ∈ B tal que x ∉ V y U ∪ V = X.

1Ver Ejercicios 5 para la definición de retracto.

(b) Para todo U, V ∈ B que satisfacen U ∪ V = X, existen U_{0}, V_{0} ∈ B tales que X \ V ⊆ U_{0}, X \ U ⊆ V_{0} y U_{0} ∩ V_{0} = ∅.

11. Un espacio X es completamente (o hereditariamente) normal si cualquier subespacio es normal. Un espacio T_{1} X es completamente normal si y sólo si para cualquier par de conjuntos A, B ⊆ X tales que A∩\overline{B} = ∅ y \overline{A} ∩ B = ∅ (es decir, que están separados), existen vecindades abiertas de ellos que son ajenas.

12. Sean X un espacio normal y F ⊆ X que es cerrado. Entonces cualquier función continua f : F → [0, 1]^{n} puede ser continuamente extendida a X.

13. Un espacio X que es T_{1} es un espacio normal si y sólo si para cualquier cubierta abierta {U_{0}, U_{1}, …, U_{n}} existe una cubierta abierta

{V_{0}, V_{1}, …, V_{n}}

tal que para cada i ≤ n se tiene que \overline{V_{i}} ⊆ U_{i}.

14. Si X es un espacio T_{1} que es la unión finita de una familia de subespacios cerrados y normales, entonces X es normal.

15. Todo conjunto F_{σ} de un espacio normal es un subespacio normal.

16. Sean X_{0} ⊆ X_{1} ⊆ ⋯ ⊆ X_{n} ⊆ ⋯ una sucesión de espacios, donde cada X_{n} es un subespacio cerrado de X_{n+1}. Sea X = ⋃_{n∈ω} X_{n}. Supóngase que U ⊆ X se define como abierto si y sólo si U ∩ X_{n} es abierto en X_{n} para cada n ∈ ω. La topología así obtenida se llama la topología coherente de X con los subespacios X_{n}.

(a) Si X tiene la topología coherente con una sucesión de espacios X_{0} ⊆ X_{1} ⊆ ⋯ ⊆ X_{n} ⊆ ⋯, entonces cada X_{n} es un subespacio de X.

(b) Si cada subespacio X_{n} es normal, entonces X mismo es normal.

17. Si J es no numerable entonces ℝ^{J} no es un espacio normal.